作者：胡波
花股结理论
从2006年开始，我就对花股结很感兴趣，开始研究花股结。当时没有很好的计算机绘图软
件，只能在纸上研究。研究的结果是创造了六瓣纽扣结和长六瓣纽扣结。当时我也不知道它
就是花股结的变形。
经过几年的研究，得到了非常不错的结果。今天把我的研究情况总结一下。
花股结的几个概念如下图：
30511
花股结的几个例子：
30512
（一）任意花任意股的花股结是可构造的。
一股的花股结定义为：一花一股花股结为水滴形圈，它有一个角，将来构造就是用多边形
角线延伸做的。一股两花的花股结为猫眼形圈，它有两个角。m大于等于3的一股m花的花股
结为正m边形，它有m个角。
用递归构造方法，假定n-1股m花的花股结已经构造出来了，构造n股m花的花股结的方法
是，将每个花剪开，顺着线方向延长，再把相邻的线接上，这样还是一个花股结，但股数为n
了。由数学上的自然归纳法就证明了m花n股的花股结存在。
例子：构造5花7股花股结过程：
30510
（二）任意m花n股的花股结虽然存在，但并不是都能用一根线来完成。我研究的结果是：
用d=（m，n）标示m和n的最大公因数，也叫最大公约数，（这在小学5年级就学过），任意
m花n股的花股结需要d根线完成，并且只需d根线完成。
由此可得出结论：任意互质的两个数m，n，m花n股的花股结能够一线完成。一线能完成的m花
n股的花股结的花数m和股数n必然互质。
证明就不做了，有感兴趣的可私下讨论。
例子：6和8的最大公因数是2，所以6花8股花股结需要2条线完成。而6和9的最大公因数是3，所以
六花九股花股结需要3根线编。如图：
30513
又例如：9 和 8 互质，因此9花8股的花股结以及8花9股的花股结可以一线编成。
（三）任意形态的纽扣、套箍结都是花股结的不同形态。
双钱结是4花3股的花股结，普通的纽扣结是双钱结的不同形态。
曹海梅老师讲的龙目结也是花股结，10孔龙目结是5花3股的花股结，15孔龙目结是5花4股
的花股结。 套箍结是是5花3股的花股结。六瓣纽扣结是6花5股的花股结的不同表现形态，六
瓣长纽扣结是6花7股花股结的不同表现形态。
蛇结是两花一股花股结的不同形态，应该归为纽扣类。
双联结是两花两股的花股结的纽扣形态，因此也应当归为纽扣类。
四面体结，是2花3股的花股结的纽扣形态，因此也应当归为纽扣类。
（四）花股结的挑压形式可以扩展到任意方式，不只限制到挑一压一的简单方式。
我把花鼓结的线分为两种，方向都是顺时针方向，一种是由外向内的走线，叫进线，另
一种是由内向外的走线叫出线。花股结的线和线交叉的地方我叫它叉点。很容易发现，花股
结的所有叉点都是由一根进线和一根出线构成，也就是说，花股结的叉点不可能由两根进线
或两根出线构成。
因此，叉点有两类，一类是进线在下，叫做A型叉点，一类进线在上，叫B型叉点。
如图：
30509
花股结的叉点分布到不同的圆周上，同一圆周上的叉点叫叉点圈。m花n股的花股结共有
n-1个叉点圈，由外向内编号为1,2，…，n-1。
花股结的花由水平最左那个开始顺时针编号为1,2，…，m。
对于k花来说，属于它的进线是花的中心点到花鼓结中心m边形的边的中点。属于它的出
线是花鼓结中心m边形的边的中点到花的中心点。顺时针方向进线在后，出线在前。
为了结体统一，一般来说，同一叉点圈上的叉点类型相同。从外到里的叉点类型可以有
多种排列方式。
例如：双钱结，AB，或BA两种，就是两种不同的双钱结，一个是人字形，一个是入字型
。
六花五股花鼓结，典型的两种排列为：ABAB和BABA，另外还可设计成AABB、AABA，
BBAA、ABBA等多种形式的花股结。构成六瓣纽扣的六花五股花鼓结为AABB，也可以编成
BBAA的。
（五）任意类型的花股结和纽扣结可以用表格来设计。设计方法以后我会给出。
（六）只要一根线能完成的花鼓结，就可以设计相应的单线纽扣结。只要一根线或两根线
完成的花鼓结，不管什么挑压方式，都可以设计成相应的双线纽扣结。为了对称性，双线纽
扣结都选偶数花的花股结。不要求对称性也可以选奇数花的花股结来设计纽扣结，例如双线
的5瓣纽扣结。只要一根线或两根线或4根线能完成的4花以上的花股结，可以设计相应的4线纽
扣结，为了对称性，通常选花数为4的倍数，例如4花、8花、12花，相应的就是4瓣、8瓣、12
瓣的纽扣结。以此类推，只要一根线能完成的花鼓结或3根线能完成的花股结，可以设计相应
的3线纽扣结，为了对称，通常花数选3的倍数，例如3瓣3线纽扣结，三线六瓣纽扣结、三线九
瓣纽扣结等。5线6线等都有相同结论。
以上理论大家可以共同探讨。
30508
从2006年开始，我就对花股结很感兴趣，开始研究花股结。当时没有很好的计算机绘图软
件，只能在纸上研究。研究的结果是创造了六瓣纽扣结和长六瓣纽扣结。当时我也不知道它
就是花股结的变形。
经过几年的研究，得到了非常不错的结果。今天把我的研究情况总结一下。
花股结的几个概念如下图：
30511
花股结的几个例子：
30512
（一）任意花任意股的花股结是可构造的。
一股的花股结定义为：一花一股花股结为水滴形圈，它有一个角，将来构造就是用多边形
角线延伸做的。一股两花的花股结为猫眼形圈，它有两个角。m大于等于3的一股m花的花股
结为正m边形，它有m个角。
用递归构造方法，假定n-1股m花的花股结已经构造出来了，构造n股m花的花股结的方法
是，将每个花剪开，顺着线方向延长，再把相邻的线接上，这样还是一个花股结，但股数为n
了。由数学上的自然归纳法就证明了m花n股的花股结存在。
例子：构造5花7股花股结过程：
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（二）任意m花n股的花股结虽然存在，但并不是都能用一根线来完成。我研究的结果是：
用d=（m，n）标示m和n的最大公因数，也叫最大公约数，（这在小学5年级就学过），任意
m花n股的花股结需要d根线完成，并且只需d根线完成。
由此可得出结论：任意互质的两个数m，n，m花n股的花股结能够一线完成。一线能完成的m花
n股的花股结的花数m和股数n必然互质。
证明就不做了，有感兴趣的可私下讨论。
例子：6和8的最大公因数是2，所以6花8股花股结需要2条线完成。而6和9的最大公因数是3，所以
六花九股花股结需要3根线编。如图：
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又例如：9 和 8 互质，因此9花8股的花股结以及8花9股的花股结可以一线编成。
（三）任意形态的纽扣、套箍结都是花股结的不同形态。
双钱结是4花3股的花股结，普通的纽扣结是双钱结的不同形态。
曹海梅老师讲的龙目结也是花股结，10孔龙目结是5花3股的花股结，15孔龙目结是5花4股
的花股结。 套箍结是是5花3股的花股结。六瓣纽扣结是6花5股的花股结的不同表现形态，六
瓣长纽扣结是6花7股花股结的不同表现形态。
蛇结是两花一股花股结的不同形态，应该归为纽扣类。
双联结是两花两股的花股结的纽扣形态，因此也应当归为纽扣类。
四面体结，是2花3股的花股结的纽扣形态，因此也应当归为纽扣类。
（四）花股结的挑压形式可以扩展到任意方式，不只限制到挑一压一的简单方式。
我把花鼓结的线分为两种，方向都是顺时针方向，一种是由外向内的走线，叫进线，另
一种是由内向外的走线叫出线。花股结的线和线交叉的地方我叫它叉点。很容易发现，花股
结的所有叉点都是由一根进线和一根出线构成，也就是说，花股结的叉点不可能由两根进线
或两根出线构成。
因此，叉点有两类，一类是进线在下，叫做A型叉点，一类进线在上，叫B型叉点。
如图：
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花股结的叉点分布到不同的圆周上，同一圆周上的叉点叫叉点圈。m花n股的花股结共有
n-1个叉点圈，由外向内编号为1,2，…，n-1。
花股结的花由水平最左那个开始顺时针编号为1,2，…，m。
对于k花来说，属于它的进线是花的中心点到花鼓结中心m边形的边的中点。属于它的出
线是花鼓结中心m边形的边的中点到花的中心点。顺时针方向进线在后，出线在前。
为了结体统一，一般来说，同一叉点圈上的叉点类型相同。从外到里的叉点类型可以有
多种排列方式。
例如：双钱结，AB，或BA两种，就是两种不同的双钱结，一个是人字形，一个是入字型
。
六花五股花鼓结，典型的两种排列为：ABAB和BABA，另外还可设计成AABB、AABA，
BBAA、ABBA等多种形式的花股结。构成六瓣纽扣的六花五股花鼓结为AABB，也可以编成
BBAA的。
（五）任意类型的花股结和纽扣结可以用表格来设计。设计方法以后我会给出。
（六）只要一根线能完成的花鼓结，就可以设计相应的单线纽扣结。只要一根线或两根线
完成的花鼓结，不管什么挑压方式，都可以设计成相应的双线纽扣结。为了对称性，双线纽
扣结都选偶数花的花股结。不要求对称性也可以选奇数花的花股结来设计纽扣结，例如双线
的5瓣纽扣结。只要一根线或两根线或4根线能完成的4花以上的花股结，可以设计相应的4线纽
扣结，为了对称性，通常选花数为4的倍数，例如4花、8花、12花，相应的就是4瓣、8瓣、12
瓣的纽扣结。以此类推，只要一根线能完成的花鼓结或3根线能完成的花股结，可以设计相应
的3线纽扣结，为了对称，通常花数选3的倍数，例如3瓣3线纽扣结，三线六瓣纽扣结、三线九
瓣纽扣结等。5线6线等都有相同结论。
以上理论大家可以共同探讨。
30508